Cosme Argerich fue hijo mayor del doctor catalán Francisco Argerich y de doña María Josefa del Castillo.
Una vez finalizados sus primeros estudios, fue enviado a España a seguir medicina en la Real Universidad de Cervera.
En 1783, terminó sus estudios y se recibe de médico, contrajo matrimonio con doña Margarita Marti, naciendo de dicho matrimonio Francisco Cosme, quién a su vez, sería un célebre médico.
En 1791, recibió el título de académico en la Academia de Medicina de Barcelona.
En 1794, volvió a Buenos Aires y prestó servicios en la Hermandad de la Caridad, en el Hospital de Mujeres y en la Casa de Huérfanas.
Es designado Primer examinador del Protomedicato fundado por el Dr. O’Gorman, cargo que ya había ejercido su padre.
Ese año, fallecieron su padre (que no poseía bienes dejando a su mujer, cinco hijas solteras y su esposa Margarita (madre de cuatro hijos).
En junio de 1802, el Rey aprobó su nombramiento como catedrático de medicina sustituyendo en dicho cargo a O’Gorman.
Desde 1803, Argerich fue Secretario del Tribunal del Protomedicato.
En 1811, la Primera Junta lo designó tercer Conjuez de la misma, convirtiéndolo así en árbitro de la formación académica local.
Combatió los sucesivos brotes de viruela que ocurrían periódicamente en Buenos Aires, como acontecía en los puertos de la época.
En 1801, publicó un artículo en el Telégrafo Mercantil, recomendando recurrir a la acción benéfica de la vacunación.
En 1806 y 1807, durante las invasiones inglesas, fue médico jefe del Hospital de la Caridad secundado en esas tareas por 17 discípulos médicos cirujanos.
Argerich actuó profesionalmente en esas jornadas atendiendo a los heridos militares, tanto españoles como ingleses y fue designado Cirujano del segundo Escuadrón de Húsares.
El 22 de mayo de 1810, participó en el Cabildo, donde votó por la caducidad de las autoridades españolas, dándole al pueblo la potestad de elegir a sus gobernantes.
En 1813, Argerich fue nombrado Director en la cátedra de Clínica Médica.
Ese mismo año, el Gobierno lo nombró Cirujano del ejército auxiliar del Alto Perú a las órdenes de José de San Martín, y más tarde de Rondeau, participando en varias batallas.
Durante varios meses participó de las vicisitudes de aquella campaña. Se desempeñó como Cirujano del Ejército del Norte, acompañando al general Manuel Belgrano y asistiendo a los heridos de las batallas de Tucumán y Salta.
La Asamblea General Constituyente aprobó su plan de estudios para la “Facultad Médica y Quirúrgica”. Por la escasez de cirujanos y elementos sanitarios, presentó las modificaciones necesarias para transformar a la Escuela de Medicina en otra institución de gran necesidad, el “Instituto Médico Militar”.
Argerich fue nombrado Director del Instituto, y desde este cargo, proveyó en 1816 al General José de San Martín de material sanitario y médicos para las campañas libertadoras a Chile y Perú.
En 1814, proyectó un Reglamento de Medicina Militar con Francisco de Paula Rivero y Agustín E. Fabre, que incluyendo en sus artículos la escala jerárquica de la sanidad castrense y sus respectivos sueldos.
En 1818, completó el proyecto original, y presentó al gobierno un plan de estudios y el Reglamento para el Instituto Médico.
Con doña Juana López Camelo y Cheves, casado en segundas nupcias tuvo trece hijos, muchos de ellos siguieron su carrera y otros se destacaron como políticos y letrados.
El Dr. Cosme Mariano Argerich falleció el 14 de febrero de 1820 en Buenos Aires.
Sus restos fueron llevados al Convento de San Francisco. Tres años después fue trasladado al Cementerio de la Recoleta.
Bernardino Rivadavia asistió a la ceremonia en calidad de Ministro de Gobierno proponiendo una suscripción pública con el objetivo de erigir un monumento, y que su retrato fuese colocado en la Sala de Sesiones de la Academia de Medicina.
